在等差数列{AN}中若A10=0侧有公式A1+A2+...+AN=A1+A2+...+A19-n(n<19,n∈N*)成立

让我们首先运用一下感觉，因为A10=0 并且AN等差, 所以A9+A11=0，A8+A12=0,..., A1+A19=0, 即 S19 = 0, 所以

A1+A2+A3+...+An =
A1 + A2 + A3 + ... + An + A(n+1) + A(n+2) + ... + A19 - A(n+1) - ... - A19 ;

因为S19 = 0, 所以上面等式右边变成 -A(n+1) - A(n+2) - ... - A19,(*)

又 -A19 = A1, -A18 = A2, ... -A(n+1) = A(19-n),

(*)式 = A1 + A2 + A3 + ... + A(19-n);

所以 左边 = 右边, 证毕.

左边省略号内是A3+A4+A5+A6+A7+...,一直加到A(n-1).
右边省略号内是A3+A4+A5+A6+A7+...,一直加到第19-n+1 项

例: 当n=4 时, 左边就是 A1+A2+A3+A4,
右边就是A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10+A11+A12+A13+A14+A15

当n=2时,
左边是A1+A2,
右边是A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10+A11+A12+A13+A14+A15+A16+A17
不知这样回答是否满意?